Sabtu, 01 Januari 2022

Paraboloida Eliptik

 PARABOLOIDA ELIPTIK

Pengertian, Rumus, Contoh Soal, dan Jawaban


A. Pengertian Paraboloida

    Paraboloida yaitu suatu permukaan yang mempunyai irisan dengan bidang yang sejajar koordinat tertentu berupa parabola. Jika irisan dengan bidang koordinat lain berupa elips, maka disebut paraboloida eliptik. Jika irisan dengan bidang sejajar koordinat yang lain berupa hiperbola, maka disebut paraboloida hiperbolik.

B. Persamaan Paraboloida Eliptik

    Paraboloida Eliptik adalah suatu permukaan yang dapat diletakkan demikian rupa sehingga irisannya yang sejajar bidang koordinat berbentuk elips dan irisannya yang sejajar bidang koordina lainnya berbentuk parabola. Berikut ini adalah gambar Paraboloida Eliptik.



=========================================================================

Ellips yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan persamaan


dan garis arah dari ellips yang bergerak adalah parabola pada bidang YOZ dengan persamaan


=========================================================================

aturan untuk menggerakkan ellips adalah :
a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY
b) titik pusat ellips selalu terletak pada sumbu z
c) dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan
d) ellips yang digerakkan selalu tetap sebangun dengan ellips semula.

Misalkan ellips digerakkan sehingga terletak pada bidang z = 𝜆 dan setengah sumbu-sumbunya adalah xo dan yo berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x dan sumbu y.

Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, yo, 𝜆 ) terletak pada ellips , sehingga memenuhi 𝑦0 2 = 2𝑝𝜆 

Karena aturan a, b, dan d, maka dipenuhi 




atau




Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z = 𝜆 tersebut adalah :


Dengan mengeleminasi 𝜆 dari persamaan ellips ini, diperoleh persamaan





Persamaan ini merupakan persamaan paraboloida ellips dengan titik puncak di O. Jika a = b maka persamaan ini menjadi persamaan paraboloida putaran dengan sumbu z sebagai sumbu putarnya.



Contoh Soal

Diberikan ellips dengan persamaan 
x = 0, y2 = 16𝑧 dan parabola dengan persamaan digerakkan dengan aturan :

1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang terletak pada bidang YOZ.
4. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

Kita Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan menjadi :




digerakkan sehingga terletak pada bidang 𝑧 = 𝜆, dan setengah sumbu-sumbunya adalah x0 dan y0 berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x dan sumbu y.

Karena memenuhi aturan a, b, dan d, maka titik (0, y0, 𝜆) terletak pada ellips sehingga memenuhi



Karena aturan a, b, dan d, maka dipenuhi :






Rabu, 09 Juni 2021

Hiperbola

Hiperbola

Pengertian, Rumus, contoh soal, dan jawaban


    Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik dalam bidang yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap(konstan). Selanjutnya dua titik tersebut disebut titik fokus (foci) hiperbola.
  • Unsur-unsur hiperbola pada kordinat cartesius
  1. Sumbu simetri yang melalui kedua fokus disebut sumbu utama (sumbu transvers) atau sumbu mayor dan yang melalui pertengahan F1F2 sedangkan sumbu sekawan (sumbu konjugasi) atau sumbu minor adalah sumbu yang tegak lurus F1F2.
  2. Titik potong kedua sumbu tersebut disebut pusat hiperbola.
  3. Titik potong hiperbola dengan sumbu utama disebut dengan puncak hiperbola sedangkan ruas garis penghubung kedua titik potong hiperbola dengan sumbu utama disebut latus rectum.
  4. Hiperbola mirip dengan parabola, bedanya parabola hanya terdiri dari satu kurva, sedangkan hiperbola terdiri dari dua kurva, yang masing-masing kurva disebut cabang.
A. Hiperbola dengan pusat O(0,0)

Pada hiperbola horizontal
  1. Titik Puncak atau Koordinat titik puncak adalah perpotongan hiperbola dengan sumbu nyata yakni titik A(a, 0), B( − a, 0) yang jaraknya 2a ( AB=2a).
  2. Titik Fokus (foci) diyang jaraknya 2c
    dimana.
  3. Titik Pusat adalah titik O yang merupakan titik tengah F1F2.
  4. Berdasarkan kedudukan titik fokus dan titik puncak diperoleh : AF2 − AF1 = BF1 − BF2 = AF2 − BF2 = BF1 − AF1 = AB = 2a
  5. Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y dengan sumbu utama adalah sumbu x dan sumbu sekawan adalah sumbu y.
  6. Persamaan garis asimtot dirumuskan  dan .

  7. Nilai eksentrisitas dinyatakan dengan , (e > 1).
  8. Panjang Latus Rectum (tali busur yang melalui salah satu fokus dan tegak lurus sumbu mayor) adalah .
Pada hiperbola vertikal

  1. Titik Puncak atau Koordinat titik puncak adalah perpotongan hiperbola dengan sumbu nyata yakni titik A (0, a ), B(0, − a) yang jaraknya 2a.
  2. Titik Fokus (foci) diyang jaraknya 2c
    dimana.
  3. Titik Pusat adalah titik O yang merupakan titik tengah F1F2.
  4. Sumbu utama adalah sumbu y dan sumbu sekawan adalah sumbu x.
  5. Persamaan garis asimtot dirumuskan  dan .
  6. Nilai eksentrisitas dinyatakan dengan , (e > 1).
  7. Panjang Latus Rectum (tali busur yang melalui salah satu fokus dan tegak lurus sumbu mayor) adalah .
B. Hiperbola dengan pusat M(p,q)

Pada hiperbola vertikal
  1. Titik Puncak atau Koordinat titik puncak adalah di .
  2. Sumbu utama adalah x = p yang sejajar sumbu y dan sumbu sekawan adalah y = q yang sejajar sumbu x.
  3. Titik fokus (foci) didandimana .
  4. Persamaan garis asimtot dirumuskan dengandan.
  5. Nilai eksentrisitas dinyatakan dengan, (e > 1).
  6. Panjang latus rectum adalah.
Pada hiperbola horizontal

  1. Tititk Puncak atau Koordinat titik puncak adalah di.
  2. Sumbu utama adalah y = q yang sejajar sumbu x dan sumbu sekawan adalah x = p yang sejajar sumbu y.
  3. Titik fokus (foci) didandimana .
  4. Persamaan garis asimtot dirumuskan dengan dan.
  5. Nilai eksentrisitas dinyatakan dengan, (e > 1).
  6. Panjang latus rectum adalah.
C. Persamaan Hiperbola

Persamaan hiperbola dengan titik pusat O(0,0)

Contoh
  1. Ambil sembarang titik pada hiperbola. Misalkan titik P(x,y).
  2. Titik F(-c,0) dan G(c,0) adalah titik fokus hiperbola.
  3. Diperoleh : dan
  4. Berdasarkan definisi hiperbola diperoleh 
  5. Subtitusi nilai PF dan PG yang sebelumnya menjadi

  6. Tambahkan kedua ruas dengansehingga menjadi
  7. Kuadratkan kedua ruas menjadi
  8. Sederhanakan hingga menjadikemudian tambahkan 2cx
  9. Kalikan kedua ruas dengan 1/4
  10. Kuadratkan kedua ruas
  11. tambahkan kedua ruas denganmenjadi
  12. Kedua ruas ditambah
  13. (Permisalan) karenamakasehingga dapat ditulis menggunakan bilangan lain misalkan
  14. Subtitusi hasil yang tadi ke persamaan menjadi
  15. Kalikan kedua ruas denganmenjadi
    Persamaan terakhir adalah persamaan hiperbola yang berpusat di titik O (0,0) dengan titik-titik fokus F(0,-c) dan G(c,0) yaitu :

    Jika titik pusat hiperbola pada O(0,0) dan titik fokusnya F(-c,0) dan G(0,c). Maka persamaan hiperbola menjadi: 

Paraboloida Eliptik

 PARABOLOIDA ELIPTIK Pengertian, Rumus, Contoh Soal, dan Jawaban A. Pengertian Paraboloida      Paraboloida yaitu suatu permukaan yang mempu...