PARABOLOIDA ELIPTIK

Pengertian, Rumus, Contoh Soal, dan Jawaban

A. Pengertian Paraboloida

    Paraboloida yaitu suatu permukaan yang mempunyai irisan dengan bidang yang sejajar koordinat tertentu berupa parabola. Jika irisan dengan bidang koordinat lain berupa elips, maka disebut paraboloida eliptik. Jika irisan dengan bidang sejajar koordinat yang lain berupa hiperbola, maka disebut paraboloida hiperbolik.

B. Persamaan Paraboloida Eliptik

    Paraboloida Eliptik adalah suatu permukaan yang dapat diletakkan demikian rupa sehingga irisannya yang sejajar bidang koordinat berbentuk elips dan irisannya yang sejajar bidang koordina lainnya berbentuk parabola. Berikut ini adalah gambar Paraboloida Eliptik.

=========================================================================

Ellips yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan persamaan

dan garis arah dari ellips yang bergerak adalah parabola pada bidang YOZ dengan persamaan

=========================================================================

aturan untuk menggerakkan ellips adalah :

a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY

b) titik pusat ellips selalu terletak pada sumbu z

c) dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan

d) ellips yang digerakkan selalu tetap sebangun dengan ellips semula.

Misalkan ellips digerakkan sehingga terletak pada bidang z = 𝜆 dan setengah sumbu-sumbunya adalah xo dan yo berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x dan sumbu y.

Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, yo, 𝜆 ) terletak pada ellips , sehingga memenuhi 𝑦0 2 = 2𝑝𝜆 

Karena aturan a, b, dan d, maka dipenuhi 

atau

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z = 𝜆 tersebut adalah :

Dengan mengeleminasi 𝜆 dari persamaan ellips ini, diperoleh persamaan

Persamaan ini merupakan persamaan paraboloida ellips dengan titik puncak di O. Jika a = b maka persamaan ini menjadi persamaan paraboloida putaran dengan sumbu z sebagai sumbu putarnya.

Contoh Soal

Diberikan ellips dengan persamaan 

x = 0, y2 = 16𝑧 dan parabola dengan persamaan digerakkan dengan aturan :

1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z

3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang terletak pada bidang YOZ.

4. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

Kita Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan menjadi :

digerakkan sehingga terletak pada bidang 𝑧 = 𝜆, dan setengah sumbu-sumbunya adalah x0 dan y0 berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x dan sumbu y.

Karena memenuhi aturan a, b, dan d, maka titik (0, y0, 𝜆) terletak pada ellips sehingga memenuhi

Karena aturan a, b, dan d, maka dipenuhi :